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高中数学编辑
2022届高考统考一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第8节概率统计的综合题教师用书教案理(数学)
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资源简介
[典例1] 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)公司规定:当Z95产品为正品;当Z<95产品为次品.公司每生产一件这种产品若是正品则盈利90元;若是次品则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(2)由频率分布直方图可以认为Z服从正态分布N(μσ2)其中μ近似为样本平均数σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)
利用该正态分布P(87.8<Z<112.2)
某客户从该公司购买了500件这种产品X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数利用的结果E(X)
附:12.2.
ZN(μσ2)P(μσ<Z<μσ)0.682 7P(μ2σ<Z<μ2σ)0.954 5.
[] (1)由频率估计概率,产品为正品的概率为(0.0330.0240.0080.002)×100.67
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
90
30
P
0.67
0.33
所以E(ξ)90×0.67(30)×0.3350.4.
(2)由频率分布直方图知,抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
70×0.0280×0.0990×0.22100×0.33110×0.24120×0.08130×0.02100
s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.2202×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.
因为ZN(100,150)
从而P(87.8<Z<112.2)P(10012.2<Z<10012.2)0.682 7.
知,一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827,依题意知XB(5000.682 7),所以E(X)500×0.682 7341.35.
点评:本题以统计图表为载体,将正态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起,体现了知识的整合性与交汇融合性,搞清这些统计图表的含义,掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键.
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